اصول هندسه اقلیدسی

نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Nikolay Ivanovich Lobachevsky)ازجمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه دربیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.

خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد.در میان اصول هندسه اقلیدسی - که راجع به آنها در آینده صحبت خواهیم کرد - اصلی وجود دارد به اینصورت : "از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی - در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند - به موازات آن خط رسم کرد".

در طول سال ها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود.چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل.مقایسه کنید آن را با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا این که همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.

حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد.حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.

لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است.اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.

او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم.اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند.او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :

"از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد"

هر چند پس از این فرض به نظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.

مثلث خیام-پاسکال

بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"دستور نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:

(a+b)⁰ = 1 (1)

(a+b)¹ = a+b (1,1)

(a+b)² = a²+2ab+b² (1,2,1)

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ (1,3,3,1)

(a+b)⁴ = a⁴+4a³b²+6a²b²+4a²b³+b⁴ (1,4,6,4,1)

اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریب های عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال(Blaise Pascal)   فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریب های بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به "مثلث حسابی پاسکال" مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در "رساله مربوط به مثلث حسابی "چاپ شد.مثلث حسابی چنین است:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هرعدد برابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آن را تا هر جا که لازم باشد ادامه داد.هرسطراین مثلث ضریب های بسط دوجمله ای را در یکی از حالت ها بدست می دهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توان های درست و مثبت) حتی در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است.باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل می شود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن.n از جمله، دستور بسط دو جمله ای را می توان در "کتاب حساب مخفی" میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،در کتاب "مفتاح الحساب"(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون و قانون تشکیل ضریب های بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث می کند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن "درستی شیوه های هندی در جذر و کعب" اطلاع داریم،که درآن به تعمیم قانون های هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از "دستور نیوتن" اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانون های مربوط به ضریب های بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو می رود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان می پذیرد .بنابراین حتی" مثلث حسابی پاسکال" را هم از نظر تاریخی نمی توان "مثلث حسابی خیام " نامید.

بیست نکته در یادگیری ریاضیات

.بخاطر داشته باشید که یادگیری درس ریاضی حتماً باید در کلاس درس انجام گیرد زیرا یادگیری این درس به شدت وابسته به معلم است

برای یادگرفتن ریاضیات داشتن تمرکز الزامی است. پس به هنگام یادگیری سر تا پا گوش باشید.به ویژه اینکه دبیر ریاضی از معدود دبیران پشت به کلاس است زیرا دائماً مجبور به استفاده از تخته برای نوشتن است.

به توضیحات دبیر یا مدرس ریاضی باید کاملاً دقت کنید. زیرا چکیده سالها تجربه و انتقال مطلب به همراه منطق ریاضیاتی درس را تواماً ارائه می کند.

مراحل محاسباتی هر تمرین را به زبان خودتان برای خودتان بازگویی کنید و راهنما و خودآموز خاص خودتان را در هر مبحث بنویسید.

 از عدم توانایی یا مهارتتان در حل تمرین ها و مسائل نترسید و دلسرد نشوید بلکه با شعف تمام با آن برخورد کنید زیرا با پی بردن به ضعف ها و نقص هایتان نیمی از عیب را رفع عیب کرده اید.

به هنگام حل تمرین حدس بزنید که چگونه سؤال یا سؤالات مشابهی ممکن است در امتحان بیاید.

در انجام تمرین های هندسه، درک این که صورت قضیه از شما اثبات چه چیزی را می خواهد مهم است. هر چه راه های بیشتر و جدید تری برای بیان محتوای قضایا، تعاریف و اصول موضوعه پیدا کنید، هندسه را بهتر فهمیده اید.

ریاضی سیری پلکانی دارد. بنابراین آمادگی مهارتی در انجام مفاهیم قبلاً آموخته شده و درک آنها پیش نیاز درک مفاهیم ریاضیاتی بعدی است.

در کلاس درس ریاضی فعال باشید دقت کنید، سؤال کنید تمرین حل کنید. مراحل محاسباتی را ثبت کنید.

موقع یادگیری تلاش کنید ساختار ریاضیاتی، ارتباطات، روابط درونی اجزاء و منطق ریاضیاتی حاکم بر آن، کاربردها و سایر ویژگی های نظری مطلب را بفهمید.

با خودسنجی در تمرین های ریاضیاتی، بلافاصله علل ناکامی و عدم موفقیت خودتان در مقابله با تمرین را ریشه یابی کنید مثلاً شاید این ناکامی ناشی از این باشد که:

الف) در درک و فهم ریاضیاتی تمرین مورد نظر مشکل دارید.

ب) در حل تمرین یا تمرین های مورد نظر دقت و تمرکز کافی نداشته اید.

ج) تمرین هایی که انجام داده اید به حد کفایت و لازم نبوده است.

تمرین های ریاضیاتی را یک ضرورت و نه یک اجبار تلقی کنید.با داشتن نگرش مثبت نسبت به این تکالیف و هدفمند بودن از تمرین های ریاضیاتی استفاده بیشتری ببرید.

فقط به تمرین های موجود در کتاب درسی بسنده نکنید بلکه از کتاب های ویژه حل تمرین یا به اصطلاح کتاب کار هم استفاده کنید.

اصل اساسی در انجام تمرینات ریاضیاتی استفاده از استدلال قیاسی است نسبت به این مسئله حساس و واقف باشید تا سرعت کارتان زیاد شود.

هیچ گاه به هنگام خستگی به ادامه تمرین ریاضی نپردازید. زیرا خستگی باعث کاهش دقت و تمرکزتان شده و ضریب خطاها و ناکامیتان را بالا می برد.

ریاضی مثل هر علم دیگری زبان خاص خودش را دارد. این زبان را بفهمید و بیاموزید تا از ارتباط با ریاضی لذت بیشتری ببرید. زبان ریاضیاتی مجموعه ای از اعداد، علائم و نمادها، حروف، اشکال و روابط بین آنهاست.

 یکی از موانع درک ریاضیاتی، نداشتن تصور ریاضیاتی مثبت از خود است. این موانع ممکن است در درک ریاضی، در تمرین ریاضی، در امتحان ریاضی دادن یا در تست ریاضی زدن باشد.با تلاش و تمرین سعی کنید بر این موانع غلبه کنید.

اصول حل مساله را یاد بگیرید و بکار ببرید. این اصول شامل موارد زیر است:

 مسئله را بفهمید. یعنی فرض ها و شروط مسئله را درک کنید. داده ها و مجهول ها را روی کاغذ بیاورید، ترسیم کنید یا مجسم کنید.

 ارتباط منطقی میان داده ها، شروط مسئله و مجهول را پیدا کنید.

 راه حل ها را پیدا کنید.

 عملیات را اجرا کنید و محاسبات لازم را انجام دهید.

جوابهای بدست آمده را وارسی کنید و از صحت آنها مطمئن شوید.

راه حل های کوتاه تر یا متفاوت را پیدا کنید.

هرگز قبل از حصول اطمینان از یادگیری متن و جوهره درس به سراغ انجام تمرین نروید زیرا احتمال ناکام شدن و عدم موفقیت تان زیاد خواهد بود.

هرگز به سراغ حل المسائل نروید مگر آنکه قبلاً:

کتاب درسی را خوانده باشید.

جزوه درسی تان را دقیق مطالعه کرده باشید.

 از کتاب های کمک درسی یا نوار یا سی دی های آموزشی استفاده کرده باشید.

 از معلم تان برای رفع اشکال کمک گرفته باشید.

به دوستانتان یا همکلاسی های برتر برای رفع اشکال مراجعه کرده باشید.

از اعضاء خانواده یا دیگران کمک گرفته باشید.

اعدد تاکسی

اعداد تاکسی

زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت 1729 بوده است.رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است.خود 1729 عدد اول است.دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند.جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن می شود 19 که اول است.

جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری می شود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است.دو عدد ابتدایی(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ می شود که باز هم عدد اول است.دو عدد اولیه اگر از هم دیگر کسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته می شود که باز هم عدد اول است.سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲).عدد اول؛عددی است که فقط بر یک و خودش تقسیم می شود به نحوی که نتیجه تقسیم عددی کسری نباشد (خارج تقسیم نداشته باشد).

جمع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ یا19=9+2+7+1 است؛ عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشود نتیجه برابر ۱۷۲۹ می شود.این هم یکی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است که در هر عددی دیده نمی شود.عدد 1729 اولین عددی است که می توان آن را به دو طریق به صورت حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت.

12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729می باشند.(اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت 1729 به کارهای بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد).

حال اگر کمی مانند ریاضیدان ها عمل کنید باید به دنبال کوچکترین عددی بگردید که به سه طریق مختلف حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت است این عدد 87539319 می باشد که در سال 1957توسط لیچ کشف شد: 414 به توان 255+3 به توان 3 و 423 به توان 288+3 به توان 3 و 436 به توان به توان 167+3 به توان 3 هر سه جوابشان برابر 87539319 است.امروزه ریاضیدانان عددی را که به n طریق مختلف به صورت حاصل جمع مکعب های دو عدد مثبت باشد،-nامین عدد تاکسی می نامند و آن را با Taxicab نمایش می دهند.

جالب تر از همه این که ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی n نا کوچکتر از 1،n-امین عدد تاکسی وجود دارد!هرچند، چهارمین تا هشتمین اعداد تاکسی نیز کشف شده اند ولی تلاشها برای کشف نهمین عدد تاکسی تاکنون ناکام مانده است.در ضمن می توان مسئله را از راه های دیگر نیز گسترش داد.

مثلا همانگونه که هاردی در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسید و او قادر به پاسخگویی نبود، این پرسش را مطرح کنید: کوچکترین عددی که به دوطریق حاصل جمع توان های چهارم دو عدد مثبت می باشد، کدام است؟ این عدد توسط اویلر یافت شده است: 635318657 حاصل جمع توان چهارم 59 و 158 همچنین توان های چهارم 133 و 134 می باشد.

تاریخچه عدد و شمارش

یکی از کهن‌ ترین و در ضمن اساسی‌ ترین مفهوم ها در ریاضیات، مفهوم عدد مثبت و درست، یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد، از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی‌شود.مفهوم عدد هم، همچون همه مفهوم‌های دیگر ریاضیات، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام قرار گرفته است.

از زمان های کهن تا سده نوزدهم میلادی، بسیاری از نویسندگان، اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ یا در جایی به جز قلمرو انسان نسبت می‌دادند. این جمله کرونیکر، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که: به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست، بقیه عددها را انسان آفریده است. برخلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم، نتیجه‌ای از کار عملی و ذهنی انسان است.

منشا پیدایش عدد

نوشته‌های قدیمی ریاضی، کم و بیش تا سده هیجدهم، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می‌دادند.از جمله ماگنیتسکی نویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه، در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می‌برد. در افسانه‌های زیبای یونانی باستان، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.

مدرک های پیدایش شمارش و عدد

به این ترتیب دانش ناچار است برای نتیجه گیری، از مدرک های غیر مستقیم استفاده کند. پیش از همه باید از نژاد شناسی نام برد. زیرا با بررسی فرهنگ های ملت هایی که در دوران پیش از تاریخ به سر می‌برند، می‌توان درباره دوره ‌های تکامل ملت های دیگر هم داوری کرد. سرچشمه دیگر پژوهش، زبان است که نه تنها وسیله بستگی انسان ها به دیگر است، بلکه بازمانده‌ای از فعالیت های معنوی قدمای کهن هم می باشد.

در زبان و در ویژگی های دستوری آن، آگاهی های گرانبهایی نگهداری شده است که تا اندازه‌ای، به روش شمردن مردم آن زمان، و این که چگونه به شمارش امروزی رسیده‌ایم، راهنمایی می‌کند.با این همه، آگاهی هایی که بوسیله جهانگردان در جریان سده‌های 18و 19 جمع‌آوری شده است، اهمیت زیادی درباره تاریخ دانش دارد و زمینه اصلی کار را برای ترسیم طرح تاریخی وپیدایش مفهوم عدد درست در اختیار ما می‌گذارد.

روشن شده است که بسیاری از قبیله‌ها، می‌توانستند حساب کنند بدون این که نام های ویژه ای برای عددها داشته باشند. بنابر آگاهی هایی که بوسیله ایاسماپار کاشف معروف قطب (1790-1855) به ما رسیده است، در آن زمان، اسکیموها، اگر بیش از سه فرزند داشتند، نمی‌توانستند آنها را بشمارند.

با وجود این، اگر یکی از فرزندانشان غایب بود، متوجه می‌شدند. یعنی بدون این که برای هر کدام از آنها، نشان ویژه جداگانه‌ای داشته باشند، می‌توانستند حساب آنها را نگه دارند.در این مرحله از تکامل، عدد به خودی خود و به عنوان یک مفهوم مستقل درک نمی‌شود، بلکه همراه با سایر ویژگی ها است و به کیفیت چیزهایی مربوط می‌شود که مجموعه را تشکیل داده‌اند.

طبیعی است، شمردن چیزها و مقایسه تعداد عضوهای مجموعه‌های مختلف، کار دشواری است.آگاهیهای پراکنده‌ای که در نوشته‌های مولفان تمدن های نخستین وجود دارد، این ادعا را ثابت می‌کند که عمل شمارش برای قوم های اولیه، مساله بغرنجی بوده است که هر وقت به آن می‌پرداختند، برایشان بی‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.

نمونه‌های جالبی از پیدایش عدد در طول تاریخ ک.شتای نن جهانگرد و نژاد شناس، نمونه جالبی در این باره نقل می‌کند.او حدود سال های هشتاد سده نوزدهم، در عمق جنگل های آمازون، به قبیله باکاایر برخورد که از نظر تکامل، در سطح پایینی بودند.

او بارها از بومیان خواسته بود ده دانه بشمارند. آنها به کندی، ولی درست، تا شش دانه را می‌شمردند ولی برای شمردن دانه‌ های هفتم و هشتم با ناراحتی متوقف می‌شدند، نشاط خود را از دست می‌دادند، هاج و واج به دور و بر خود نگاه می‌کردند، از دردسری که گرفتارشان کرده بود، غرغر می‌کردند سرانجام هم یا از پاسخ طفره می‌رفتند و یا پا به فرار می‌گذاشتند.میکلوخو- ماکلای، درباره عدد شماری بومیان گینه نو می‌نویسد: بومیان روش جالبی برای شمردن دارند.

آنها انگشتان خود را یکی پس از دیگری می‌بندند و صدای معینی را تکرار می‌کنند وقتی به پنج می‌رسند، می‌گویند دست. بعد، آغاز به بستن انگشتان دست دیگر خود می‌کنند... تا به دو دست برسند... و برای 15 یک پا و برای 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم بعد از آن را بشمارند، از انگشتان دست و پای دیگری استفاده می‌کنند. می‌بینیم، مهارت در شمردن مربوط به وجود نام ویژه‌ای برای عددها یا وجود نمادهایی برای رقم ها نیست.شکل گرفتن عددها را باید از مرحله ‌های بالای تکامل شمار دانست.

مدت ها پیش از آن که نامهای ویژه‌ای برای عددها پیدا شود، برای بیان تعداد چیزها، نام هایی وجود داشت. معلوم شده است نزد برخی از قبیله‌های آفریقایی، برای هر یک از حالتهای 3 گاو، 3 درخت، 3 جنگ و غیره نام ویژه ای دارند. یا برخی از قبیله های غرب کانادا که نامی برای عدد 3 ندارند، برای 3 چیز از نام هایی استفاده می کنند.

تخه ، سه چیز ،تخانه ، سه برگ. بومیان فلوریدا برای 10 تخم مرغ می‌گویند نانگوآ و برای 10 سبد نا-بانارا. ولی بطور جداگانه برای عدد 10(که به چیز مقید نباشد) از واژه نا استفاده نمی کنند و برای عدد 10 هیچ واژه ای ندارند.نویسنده ضد دوریگلند در این باره می گوید: مفهوم های عدد و شکل، از جایی جز جهان واقعی، گرفته نشده است.

ده انگشت که انسان شمردن، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیز هست جز محصولی که زاییده اندیشه خالص باشد.برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آن را بشماریم.بلکه باید این استعداد را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها، هر ویژگی دیگری جز شمار را از آن جدا کنیم و این استعداد هم در نتیجه تکامل تاریخی طولانی که متکی بر تجربه باشد بدست می‌آید.

متوسط در ریاضی چیست؟

اگر شما در مورد این که متوسط در ریاضی چیست کنجکاو هستید،این مقاله برای شما مفید و مؤثرخواهد بود. روش محاسباتی این پارامتر مهم آماری در این مقاله معرفی شده است.

زمانی که اولین دوره آموزشی خود را در زمینه ریاضیات و آمار می گذرانید باید با عبارات زیادی آشنا شوید. یکی از مهم ترین و گسترده ترین آن ها متوسط می باشد.

متوسط یا میانگین حسابی چیست؟

متوسط تعریف دیگری برای 'میانگین' است. این عبارت یکی از مفاهیم گسترده مورد استفاده در ریاضیات کاربردی است. در آمار،مجموعه ای از اعداد به عنوان 'جامعه' شناخته شده است. مقدار متوسط برای یک جامعه،عدد به دست آمده از مجموع تمام اعداد با هم و سپس تقسیم حاصل بر تعداد کل اعداد است. این مقدار نشان دهنده مقدار مرکزی است که کل مجموعه اعداد در اطراف آن قرار گرفته اند. این مقدار اغلب به دلایل مختلفی محاسبه می شود.

اجازه دهید یک مثال حل کنیم. مجموعه ای از اعداد نظیر "20، 10، 40، 30،60" را در نظر بگیرید. . ما باید اندازه متوسط و یا میانگین حسابی این اعداد را محاسبه کنیم. اولین قدم، به دست آوردن مجموع کل این اعداد می باشد.

مجموع این اعداد 160=20+10+40+30+60 است. گام بعدی تقسیم مجموع این اعداد بر تعداد کل اعداد یعنی 5 می باشد. بنابراین، ما 160 را بر 5 تقسیم می کنیم، که نتیجه این تقسیم 32 می شود.پس، 32 مقدار متوسطی است که مجموعه این اعداد در اطراف آن توزیع شده اند.

میانه چیست؟

در آمار و نظریه احتمالات میانه نوعی سنجش گرایش به مرکز است.میانه عددی است که یک جمعیت آماری و یا یک توزیع احتمالی را زمانی که آنها به ترتیب صعودی یا نزولی (به تعداد فرد) مرتب شده اند، به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. این مفهوم در آمار استفاده می شود.اکنون اجازه دهید ببینیم که مقدار میانه در مجموعه ای از اعداد چگونه محاسبه می شود.

مجموعه اعداد "11،1،2،6،8" را در نظر بگیرید. هنگامی که این اعداد را به صورت صعودی مرتب نمایید، دنباله اعداد به صورت"11،8،6،2،1" می شود. همان طور که می بینید، در این مجموعه عدد 6 دقیقاً در مرکز قرار دارد و از این رو، این عدد مقدار میانه است.اگر تعداد جمعیت آماری زوج باشد، میانه با میانگین دو عضو جمعیت که در وسط جمعیت آماری قرار دارند، محاسبه می‌شود.

مد یا نما چیست؟

در مجموعه ای از اعداد، مد یا نما عددی است که بیشترین تکرار را در میان سایر اعداد داشته باشد. این اصطلاح هم در احتمالات برای یک توزیع احتمالی و هم در آمار برای یک مجموعه داده آماری نمونه ‌برداری شده استفاده می‌گردد. کلمه مد از زبان فرانسه گرفته شده ‌است و بیشترین تکرار - از یک صفت - در بین مقادیر صفت می‌باشد.

مجموعه ای از اعداد مانند '8، 7، 3، 4، 8، 9، 8' را در نظر بگیرید. همان طور که می بینید، تمام اعداد به جز 8، فقط یک بار ظاهر شدند. بنا بر این در این مجموعه عدد 8 مقدار مد یا نما است.

داده‌های آماری ممکن است فاقد مد باشد مثل ۴و۶و۱، یا این که دارای یک مد باشد مثل ۷و۶و۷و۱ و یا دو مدی باشند مانند ۷و۶و۷و۶و۱و۲. اگر تکرار صفت به طور یک سان در بین دادهای آماری اتفاق افتاده باشد مد وجود ندارد. مثل ۴، ۴، ۴، ۳، ۳، ۳، ۱، ۱، ۱، ۸، ۸، 8.

ریاضیات تماماً در مورد تمرین و تکرار است. ریاضیات ابزارهایی را ارائه می دهد که می تواند در مورد کار با داده ها که به طور مداوم در حال افزایش هستند، مورد استفاده قرار گیرد. میانه، متوسط و مد مفاهیمی از آمار هستند. هنگامی که شما در حال بررسی یک دسته تصادفی از اعداد می باشید، این مفاهیم بسیار مفید واقع می شوند.

 

مسابقات و جوایز مهم در دنیای ریاضیات

 :Abelاز جمله جوایز جدید در دنیای ریاضیات است که از طرف آکادمی علوم نروژ به مناسبت بزرگداشت تولد نیلز هنریک آبی  (Niels Nenrik Abel 1802-1829 ) از سال 2003 به مناسبت دویست امین سالگرد تولد این ریاضی دان به محققین ریاضی اعطا می شود.

Cole : برای پاسداشت خدمات پروفسور فرانک نلسون کول  (Frank Nelson Cole)  از موسسین انجمن ریاضیات آمریکا، این انجمن دو جایزه در زمینه های جبر و تئوری اعداد به ریاضی دانان و محققین علم ریاضی اعطا می شود.

Eternity: نوعی پازل است که توسط کریستوفر مانکتون (Christopher Monckton)  اختراع شد و شامل 209  تکه

می باشد که هر کدام یک چند ضلعی هستند که زوایای داخلی آنها 30 یا 60 یا 90 درجه می باشد.

این پازل در سال 1999 در انگلستان معرفی شد و هدف آن ساختن پازل به گونه ای است که تشکیل یک دوازده وجهی - از نوع  dodecagon- را بدهد.این جایزه مبلغ یک میلیون پوند بود که در سال 2000 به دو ریاضی دان که مسئله را حل کردند اعطا شد.چند سال بعد یک ریاضی دان دیگر چیدمان دیگری از این پازل را حل کرد و جایزه دیگری را نصیب خود کرد.

Fields Medal: این جایزه بسیار شبیه به جایزه نوبل در ریاضیات است.همانطور که ممکن است بدانید جایزه صلح نوبل به ریاضیای دانان اعطا نمی شود.اما Field Medal هر چهار سال یکبار از طرف اتحادیه بین المللی ریاضیات به محققان ریاضی اعطا می شود.

این جایزه برای اولین بار در سال 1924 از طرف یک کنگره بین المللی در تورنتو (Toronto) تعیین شد.این جایزه بالاترین جایزه و پاداش در زمینه ریاضیات است که ممکن است به شخصی تعلق بگیرد.این جایزه یک مدال طلا است که ارزشی معادل پانزده هزار دلار دارد.

IMO: در عالم ریاضی جوایز بسیاری در مسابقات بین الملی به برترین ها اعطا می شود که شاید بزرگترین و معتبرترین آنها مسابقات بین المللی المپیاد ریاضی   IMO(The international Mathematical Olympiad) است. مجموعه مسابقات همه ساله برای دانش آموزان دبیرستانی در کشورهای مختلف انجام می شود. اولین IMO در سال 1959 در رمانی برگزار شد و به تدریج گسترش پیدا کرد بگونه ای که امروزه بیش از 80 کشور در آن شرکت می کنند.

Putnam: از دیگر مسابقات مهم می توان به مسابقات Putnam که در آمریکای شمالی برگزار می شود اشاره کرد.این مسابقات برای دانشجویان راضی برگزار می شود و همه ساله در اول دسامبر بیش از 2000 دانشجو در دو جلسه و در مجموع شش ساعت به حل 12 مسئله ریاضی می پردازند. اغلب مسائل سخت هستند و راه حل های عادی ندارند.

MCM یا International Mathematical Contest in Modeling : نوعی از مسابقات تیمی دانشجویی است.مسائل این مسابقات اغلب توسط مسئولین دولتی یا دست اندرکاران صنعتی طراحی می شود.بهترین راه حل ها در ژورنال ها و مجله های معتبر منتشر می شوند.

Nevanlinna: جایزه ای است که از طرف اتحادیه بین الملی ریاضیات به محققین در زمینه علوم اطلاعات (Information Science)   اعطا می شود.افراد برنده همانند Field Medal جایزه دریافت می کنند، این جایزه برای اولین بار در سال 1983 در ورشو ارائه شد.این جایزه به محققان در زمینه هایی مانند علوم کامپیوتر، زبان های برنامه نویسی، مدل سازی ریاضیات، محاسبات عددی، بهینه سازی، تئوری اطلاعات، پردازش سیگنال، سیستم های کنترل، هوش مصنوعی و ... ارائه می شود.

RSA Number: اعداد RSA اعداد مرکبی هستند که تنها دو فاکتور اول دارند برای همین گاهی اوقات به آنها اعداد نیمه اول (semiprime)  گفته می شود.با وجود آنکه اعداد RSA به مراتب کوچکتر از بزرگترین اعداد اولی است که تاکنون شناخته شده است اما باید اذعان کرد که تجزیه این اعداد در حالی که فاکتورهای آنها اعداد اول بزرگ باشند بسیار بسیار دشوار است.

از این اعداد برای سیستم های رمز با کلید خصوصی و عمومی در انتقال اطلاعات استفاده می شود.شرکتی بنام RSA Security جایزه بزرگی به شخصی که الگوریتمی برای تجزیه این اعداد که فقط دو عامل اول بزرگ دارند اعطا خواهد کرد. لازم به ذکر است که تاکنون برای اعداد RSA از 100 الی 174 بیت جوایزی به ارائه دهندگان الگوریتم اعطا شده است اما برای اعداد RSA شامل 193 بیت راه حلی ارائه نشده است.

هندسه نا اقلیدسی

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود.فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد.

چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود.

یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.در هندسه ی اقلیدسی یک سری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند.

هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند.اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یک خط و تنها یک خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور کند». اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید.

بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد.

در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد که در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد.

صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالاى فکرى بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است.این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد.هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى کردند سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرن های متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوشش هایی را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند.

به تدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند. بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست.یک وقت برتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.

دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط  و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آن که در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آن که بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند.

با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری.

ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرض ها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوری گرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد.این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

 

خیام

اسرار ازل را نه تو دانی و نه من
وین حرف معما نه تو دانی و نه من
هست از پس پرده گفتگوی من و تو
چون پرده برافتد نه تو مانی و نه من

روز بزرگداشت حکیم عمر خیام

28 اردیبهشت ماه به عنوان روز بزرگداشت حکیم عمر خیام گرامی داشته می شود.

عُمَر خَیّام نیشابوری فیلسوف، ریاضی دان، ستاره شناس و رباعی سرای ایرانی در دوره سلجوقی است. گرچه پایگاه علمی خیام برتر از جایگاه ادبی او است و لقبش «حجةالحق» بوده است، ولی آوازه وی بیشتر به واسطه نگارش رباعیاتش است که شهرت جهانی دارد. افزون بر آن که رباعیات خیام را به اغلب زبان های زنده ترجمه نموده اند، ادوارد فیتزجرالد رباعیات او را به زبان انگلیسی ترجمه کرده است که مایه شهرت بیشتر وی در مغرب زمین گردیده است.

یکی از برجسته ترین کارهای وی را می توان اصلاح گاهشماری ایران در زمان وزارت خواجه نظام الملک، که در دوره سلطنت ملک شاه سلجوقی (426 - 490 هجری قمری) بود، دانست.

وی در ریاضیات، علوم ادبی، دینی و تاریخی استاد بود. نقش خیام در حل معادلات درجه سوم و مطالعات اش درباره اصل پنجم اقلیدس نام او را به عنوان ریاضی دانی برجسته در تاریخ علم ثبت کرده است. ابداع نظریه ای درباره نسبت های هم ارز با نظریه اقلیدس نیز از مهم ترین کارهای اوست.

اشعار خیام بیشتر به زبان پارسی و تازی هستند. مضمون عمده رباعیات خیام شک و حیرت، توجه به مرگ و فنا و تذکر در مورد مغتنم شمردن عمر آدمی است.

این دانشمند بر جسته جهان اسلام در سال 517 ه.ق چشم از جهان فرو بست. وی را در زادگاهش نیشابور به خاک سپردند. آرامگاه این شاعـر بزرگ و ریاضی دان مشهور ایرانی، حکیم عمر خیام در باغـی در نـیشابور است.

 

 

 

ریاضیات چیست؟

ریاضیات چیست؟

ریاضیات به منزله یکی از تجلیّات ذهن انسان، منعکس کننده اراده فعال، عقل تأمل گر و علاقه وافر او به کمال زیبایی شناختی است.عناصر بنیادی آن، منطق و شهود، تحلیل و ساختن، عمومیّت و فردیّت است.هر چند سنت ها و مکتب های گوناگون ریاضی به جنبه های متفاوتی از آن توجّه دارند سر زندگی، سودمندی، و ارزش ریاضیات تنها از تأثیر متقابل این نیروهای متضاد و تلاش برای تلفیق و ترکیب آنها ناشی می شود.

تاریخ ریاضیات مکتوب از مشرق زمین آغاز می شود.در آنجا بابلیان در حدود 2000 سال پیش از میلاد، مجموعه ای وسیع و متنوع از مطالب را که امروز از مقوله جبر مقدماتی به شمار می آید گرد آوردند.ولی ریاضیات به صورت علم به مفهوم امروزی آن، در سده های پنجم و چهارم پیش از میلاد در خاک یونان پدید آمد.ارتباط فزاینده بین مشرق زمین و یونانیان، که در دوران شاهنشاهی هخامنشی آغاز شد و در دوره فتوحات اسکندر به اوج رسید، یونانیان با دستاوردهای ریاضیات و نجوم بابلی آشنا ساخت. طولی نکشید که ریاضیات در مباحثات فلسفی که در دولت شهرهای یونانی رونق داشت قرار گرفت.به این ترتیب، اندیشمندان یونانی از مشکلات بزرگی آگاه شدند که در ذات مفاهیم ریاضی پیوستگی، حرکت، و بی نهایت، و در مسأله اندازه گیری های کمیّت های دلخواه به وسیله واحدهای مفروض قرار داشت.آنها با تلاشی درخور تحسین به مقابله با این مشکلات برخاستند و حاصل آن، نظریه ائودوکسوس درباره پیوستار هندسی، دستاوردی است که فقط دو هزار سال بعد با پیدایش نظریه نوین اعداد گنگ همتایی برای آن پیدا شد.گرایش استتناجی- اضل موضوعی در ریاضیات در زمان ائودوکسوس آغاز شد و در اصول اقلیدس متجلی گردید.

ممکن است کشف اشکالات مربوط به کمیت های «نامتوافق» یونانیان را از توسعه و تکامل فن محاسبه عددی که قبلاً در شرق به دست آمده بود منصرف ساخته باشد.آن ها به جای این کار، راهی از درون بیشه هندسه اصل موضوعی محض برای خود گشودند و به این ترتیب، یکی از انحرافات عجیب تاریخ علم آغاز شد و شاید فرصت عظیمی از دست رفت.در طی دو هزار سال، وزن و اعتبار سنت هندسی یونانی، تحول اجتناب ناپذیر مفهوم عدد و عملیات جبری را به تأخیر افکند، تحولی که بعداً مبنای علم نوین قرار گرفت.

پس از یک دوره تدارک و تحول کُند و تدریجی، مرحله جدی و قاطع انقلاب در ریاضیات قرن هفدهم با پیدایش هندسه تحلیلی و حساب دیفرانسیل و انتگرال آغاز شد.اگر چه هندسه یونانی هم چنان جایگاه خود را حفظ کرد، ایده آل یونانی یعنی بیان دقیق اصل موضوعی و استتناج اسلوب مند، در قرن های هفدهم و هجدهم از یادها رفت.پیشگامان جدید علوم ریاضی چندان اهمیّتی به استدلال دلیل منطقی که مبتنی بر تعریف ها و اصول موضوع «بدیهی» نامتناقض باشد، نمی دادند.

آنها بی مهابا و لجام گسیخته به گمانه زنی های شهودی و استدلال های قانع کننده ولی آمیخته با مفاهیم مبهم پرداختند و با اطمینان کورکورانه به قدرت فوق انسانی روش صوری به تسخیر دنیایی ریاضی دست زدند که بسیار غنی بود.ولی به تدریج سرمستی پیشرفت جای خود را به خویشتنداری و روحیه انتقادی داد.در قرن نوزدهم نیاز مبرم به استحکام (نتایج علمی) وعلاقه به ایمنی و اطمینان خاطر بیشتر در مورد گسترش تعلیمات عالی، که انقلاب فرانسه موجب آن شده بود، ناگزیر به بازگشت و تجدید نظر در مبانی ریاضیات نوین، به خصوص حساب دیفرانسیل و انتگرال و مفهوم زیربنایی حد انجامید.

بنابراین، قرن نوزدهم نه تنها دوران پیشرفت های تازه بلکه عصر بازگشت موفقیّت آمیز به آرمان کلاسیک دقّت و برهان دقیق بود، و از این لحاظ از الگوی علم یونانی پیشی گرفت.